【点到直线的距离公式如何推导?】在解析几何中，点到直线的距离是一个非常基础且重要的概念。它广泛应用于数学、物理、工程等领域。点到直线的距离公式可以用于计算一个点到一条直线的最短距离，这个最短距离是垂直于该直线的线段长度。

下面我们将通过多种方法来总结和推导“点到直线的距离公式”，并以表格形式展示其核心内容。

一、点到直线的距离公式概述

设点 $ P(x_0, y_0) $，直线 $ l $ 的一般式为：

$$

Ax + By + C = 0

$$

则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离 $ d $ 公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

二、推导方法总结

以下是几种常见的推导方法，分别从几何、向量、解析法等角度进行分析：

三、详细推导过程（以向量法为例）

1. 设定直线方向向量与法向量

直线 $ Ax + By + C = 0 $ 的法向量为 $ \vec{n} = (A, B) $。

2. 取直线上一点 $ Q(x_1, y_1) $

满足 $ Ax_1 + By_1 + C = 0 $。

3. 构造向量 $ \vec{PQ} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1) $

表示点 $ P $ 到直线上某点 $ Q $ 的向量。

4. 计算向量在法向量上的投影长度

投影长度为：

$$

\text{proj}_{\vec{n}} \vec{PQ} = \frac{\vec{PQ} \cdot \vec{n}}{\vec{n}}

$$

5. 绝对值即为点到直线的距离

所以点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离为：

$$

d = \left \frac{A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right

$$

6. 简化公式

由于 $ Ax_1 + By_1 + C = 0 $，可得：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

四、应用实例

假设点 $ P(2, 3) $，直线 $ l: 3x + 4y - 5 = 0 $，则点到直线的距离为：

$$

d = \frac{3 \times 2 + 4 \times 3 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{6 + 12 - 5}{5} = \frac{13}{5} = 2.6

$$

五、总结

点到直线的距离公式是解析几何中的重要内容，其推导方式多样，但最终结果一致。理解不同推导方法有助于加深对公式的认识，并能灵活应用于实际问题中。

通过以上总结和表格形式的呈现，我们不仅掌握了点到直线距离公式的来源，也理解了其背后的数学思想与应用价值。