【X乘以sinx的不定积分】在微积分的学习中，求函数的不定积分是一项基本而重要的技能。其中，“X乘以sinx的不定积分”是一个常见的积分问题，可以通过分部积分法来解决。下面将对这一积分进行详细总结，并以表格形式展示关键步骤与结果。
一、问题概述
我们需要计算以下不定积分：
$$
\int x \sin x \, dx
$$
这是一个典型的“多项式乘以三角函数”的积分问题，通常使用分部积分法（Integration by Parts）来求解。
二、解题思路
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们选择：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin x \, dx $，则 $ v = -\cos x $
代入公式得：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx
$$
继续计算右边的积分：
$$
\int \cos x \, dx = \sin x
$$
因此，最终结果为：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
三、关键步骤总结表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定 $ u = x $，$ dv = \sin x dx $ | 分部积分法的基本设定 |
| 2 | 得到 $ du = dx $，$ v = -\cos x $ | 对 $ u $ 和 $ dv $ 求导和积分 |
| 3 | 应用公式：$ \int x \sin x dx = -x \cos x + \int \cos x dx $ | 分部积分法的应用 |
| 4 | 计算 $ \int \cos x dx = \sin x $ | 简单的三角函数积分 |
| 5 | 最终结果：$ -x \cos x + \sin x + C $ | 加上积分常数 |
四、结论
通过分部积分法，我们可以得出：
$$
\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C
$$
这个结果在物理、工程以及数学建模中有着广泛的应用，尤其是在处理周期性变化的变量时。
如需进一步验证该积分的正确性，可以通过对结果求导，看是否得到原函数 $ x \sin x $。这也是检查积分是否正确的常用方法之一。
