【常用函数泰勒展开公式】在数学分析中，泰勒展开是一种将函数表示为无穷级数的方法，它以某个点为中心，用该点的各阶导数值来构造多项式。泰勒展开在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。本文总结了一些常见的函数的泰勒展开公式，并以表格形式呈现，便于查阅和理解。
一、泰勒展开的基本概念
泰勒展开是将一个光滑函数在某一点附近用无限次可导的多项式近似表示的一种方法。若函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处具有所有阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开（Maclaurin series）。
二、常用函数的泰勒展开公式（以 $ x = 0 $ 为中心）
| 函数 | 泰勒展开式（或麦克劳林展开式） | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ | x | < 1 $ |
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ （广义二项式展开） |
三、小结
以上列出的是数学中较为常见且应用广泛的函数的泰勒展开公式。这些展开式不仅有助于理解函数的局部行为，还能用于近似计算、数值分析以及解析延拓等场合。对于实际应用而言，了解每个展开式的收敛区间非常重要，避免在不适用的范围内使用近似值。
通过掌握这些基本的泰勒展开公式，可以更高效地解决与函数逼近、微分方程求解等相关问题。
