【等比数列前n项和公式Sn】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为定值，这个定值称为公比。等比数列的前n项和公式（记作Sn）是解决相关问题的重要工具。本文将对等比数列前n项和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的应用。
一、等比数列的基本概念
- 定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
- 通项公式：
$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。
二、等比数列前n项和公式
根据公比 $ r $ 的不同取值，等比数列前n项和的计算公式也有所不同：
| 公比 $ r $ | 前n项和公式 $ S_n $ | 说明 |
| $ r \neq 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 当公比不等于1时使用此公式 |
| $ r = 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当公比为1时，所有项相等，直接乘以项数即可 |
三、公式推导简要说明
等比数列前n项和的推导方法主要采用“错位相减法”：
设等比数列前n项和为：
$$
S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1}
$$
两边同时乘以公比 $ r $ 得：
$$
rS_n = a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^n
$$
用原式减去新式：
$$
S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n
$$
$$
S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n)
$$
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
当 $ r = 1 $ 时，原式变为：
$$
S_n = a_1 + a_1 + \cdots + a_1 = a_1 \cdot n
$$
四、实际应用举例
| 题目 | 已知条件 | 解答过程 | 结果 |
| 求首项为3，公比为2，前5项和 | $ a_1=3, r=2, n=5 $ | $ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-31}{-1} = 93 $ | 93 |
| 求首项为5，公比为1，前7项和 | $ a_1=5, r=1, n=7 $ | $ S_7 = 5 \cdot 7 = 35 $ | 35 |
五、注意事项
- 使用公式时，必须注意公比 $ r $ 是否为1；
- 若题目未明确给出公比或首项，需先根据已知条件求出；
- 在实际问题中，如银行利息、人口增长等，等比数列模型应用广泛。
通过以上内容，我们对等比数列前n项和公式有了更深入的理解。掌握这一公式不仅有助于解题，还能帮助我们在实际生活中分析和预测具有指数增长或衰减的现象。
