【函数单调性的求法和步骤】函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某个区间内的增减变化趋势。掌握函数单调性的判断方法，有助于我们更深入地理解函数的性质，为后续的极值、最值等问题打下基础。
以下是对函数单调性求法和步骤的总结，结合实例进行说明，帮助读者系统掌握相关知识。
一、函数单调性的定义
- 单调递增函数：在区间 $ I $ 上，若对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递增。
- 单调递减函数：在区间 $ I $ 上，若对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \geq f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递减。
二、函数单调性的求法与步骤
| 步骤 | 操作说明 | 说明 |
| 1 | 确定函数的定义域 | 函数的单调性只在定义域内讨论，因此首先要明确函数的定义域范围。 |
| 2 | 求导数 $ f'(x) $ | 利用导数的正负来判断函数的增减性，是判断单调性的主要方法。 |
| 3 | 解不等式 $ f'(x) > 0 $ 或 $ f'(x) < 0 $ | 当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减。 |
| 4 | 分析导数的符号变化 | 找出导数为0的点，并将定义域划分为若干区间，分别判断每个区间的单调性。 |
| 5 | 综合结果，写出单调区间 | 根据导数的符号变化，确定函数的单调递增或递减区间。 |
三、示例解析
例题：判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性。
解法步骤：
1. 定义域：$ f(x) $ 是多项式函数，定义域为 $ (-\infty, +\infty) $。
2. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $。
3. 解不等式：
- $ f'(x) > 0 $ 时，$ 3x^2 - 3 > 0 \Rightarrow x^2 > 1 \Rightarrow x < -1 $ 或 $ x > 1 $。
- $ f'(x) < 0 $ 时，$ 3x^2 - 3 < 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1 $。
4. 分析导数符号变化：
- 在区间 $ (-\infty, -1) $ 上，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增；
- 在区间 $ (-1, 1) $ 上，$ f'(x) < 0 $，函数单调递减；
- 在区间 $ (1, +\infty) $ 上，$ f'(x) > 0 $，函数单调递增。
5. 结论：
- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $；
- 单调递减区间：$ (-1, 1) $。
四、注意事项
- 导数为零的点可能是极值点，也可能是拐点，需进一步验证。
- 若函数在某点不可导，则不能仅凭导数判断其单调性，应结合极限或其他方法分析。
- 对于分段函数，需分别在各段上判断单调性。
五、总结
函数单调性的判断是一个系统的过程，需要结合导数分析和区间划分。通过上述步骤，可以清晰地判断函数在不同区间上的增减趋势，从而更好地理解函数的整体行为。掌握这些方法，不仅有助于考试答题，也有助于实际问题的建模与分析。
