【阶乘的主要公式】阶乘在数学中是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于组合数学、概率论、排列组合等领域。它表示一个正整数n的所有小于等于n的正整数的乘积，通常用符号“n!”来表示。以下是对阶乘主要公式的总结，并通过表格形式进行展示。
一、阶乘的基本定义
阶乘的定义为：
$$
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
其中，n 是一个非负整数。特别地，0! 的定义为 1，这是数学中的一种约定。
二、阶乘的主要公式
以下是阶乘的一些重要公式和性质：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 基本定义 | $ n! = n \times (n-1)! $ | 阶乘的递归定义，适用于所有正整数n |
| 0! 的定义 | $ 0! = 1 $ | 数学中的标准定义 |
| 阶乘与组合数 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ | 用于计算从n个元素中选取k个的组合数 |
| 阶乘与排列数 | $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ | 用于计算从n个元素中选取k个并排列的方式数 |
| 斯特林公式（近似） | $ n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $ | 当n较大时，用于近似计算阶乘值 |
| 阶乘的对数形式 | $ \log(n!) = \sum_{k=1}^{n} \log(k) $ | 在计算机科学和信息论中常用 |
三、常见阶乘值表
下表列出了一些常见自然数的阶乘值，便于快速查阅：
| n | n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
四、应用举例
1. 组合问题：从5个人中选出3人组成小组，有 $ C(5,3) = \frac{5!}{3!2!} = 10 $ 种方法。
2. 排列问题：将5个不同的书放在书架上，有 $ 5! = 120 $ 种排列方式。
3. 斯特林公式：当计算 $ 100! $ 时，可以直接使用近似公式估算其大小。
五、结语
阶乘作为数学中的基本工具，具有广泛的理论和实际应用价值。理解其主要公式和特性，有助于更高效地解决相关问题。通过表格形式的整理，可以更加直观地掌握阶乘的相关知识。
