【求xe 的负x次方的不定积分】在微积分的学习中，不定积分是常见且重要的内容之一。对于函数 $ f(x) = x e^{-x} $，其不定积分可以通过分部积分法来求解。本文将对这一过程进行总结，并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、问题概述
我们要求的是：
$$
\int x e^{-x} \, dx
$$
这是一个典型的乘积函数积分问题，适合使用分部积分法（Integration by Parts）来解决。
二、分部积分法公式
分部积分法的基本公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们需要选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 来简化积分。
三、步骤解析
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $ u = x $，则 $ du = dx $； 设 $ dv = e^{-x} dx $，则 $ v = -e^{-x} $ |
| 2 | 应用分部积分公式： $ \int x e^{-x} dx = uv - \int v \, du $ |
| 3 | 代入得： $ = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx $ |
| 4 | 计算剩余积分： $ \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C $ |
| 5 | 合并结果： $ \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C $ |
四、最终答案
$$
\int x e^{-x} \, dx = -e^{-x}(x + 1) + C
$$
其中，$ C $ 是积分常数。
五、总结
通过分部积分法，我们成功地求出了 $ x e^{-x} $ 的不定积分。整个过程清晰明了，体现了微积分中处理乘积函数积分的基本技巧。
| 函数 | 不定积分 |
| $ x e^{-x} $ | $ -e^{-x}(x + 1) + C $ |
如需进一步验证结果，可以对答案进行求导，看是否还原为原函数。
