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求xe 的负x次方的不定积分

2025-07-10 19:28:16

问题描述:

求xe 的负x次方的不定积分,求快速支援,时间不多了!

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2025-07-10 19:28:16

求xe 的负x次方的不定积分】在微积分的学习中,不定积分是常见且重要的内容之一。对于函数 $ f(x) = x e^{-x} $,其不定积分可以通过分部积分法来求解。本文将对这一过程进行总结,并以表格形式展示关键步骤和结果。

一、问题概述

我们要求的是:

$$

\int x e^{-x} \, dx

$$

这是一个典型的乘积函数积分问题,适合使用分部积分法(Integration by Parts)来解决。

二、分部积分法公式

分部积分法的基本公式为:

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

我们需要选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 来简化积分。

三、步骤解析

步骤 内容
1 设 $ u = x $,则 $ du = dx $;
设 $ dv = e^{-x} dx $,则 $ v = -e^{-x} $
2 应用分部积分公式:
$ \int x e^{-x} dx = uv - \int v \, du $
3 代入得:
$ = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx $
4 计算剩余积分:
$ \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C $
5 合并结果:
$ \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C $

四、最终答案

$$

\int x e^{-x} \, dx = -e^{-x}(x + 1) + C

$$

其中,$ C $ 是积分常数。

五、总结

通过分部积分法,我们成功地求出了 $ x e^{-x} $ 的不定积分。整个过程清晰明了,体现了微积分中处理乘积函数积分的基本技巧。

函数 不定积分
$ x e^{-x} $ $ -e^{-x}(x + 1) + C $

如需进一步验证结果,可以对答案进行求导,看是否还原为原函数。

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