【求xe 的负x次方的不定积分】在微积分的学习中,不定积分是常见且重要的内容之一。对于函数 $ f(x) = x e^{-x} $,其不定积分可以通过分部积分法来求解。本文将对这一过程进行总结,并以表格形式展示关键步骤和结果。
一、问题概述
我们要求的是:
$$
\int x e^{-x} \, dx
$$
这是一个典型的乘积函数积分问题,适合使用分部积分法(Integration by Parts)来解决。
二、分部积分法公式
分部积分法的基本公式为:
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
我们需要选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ 来简化积分。
三、步骤解析
步骤 | 内容 |
1 | 设 $ u = x $,则 $ du = dx $; 设 $ dv = e^{-x} dx $,则 $ v = -e^{-x} $ |
2 | 应用分部积分公式: $ \int x e^{-x} dx = uv - \int v \, du $ |
3 | 代入得: $ = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx $ |
4 | 计算剩余积分: $ \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C $ |
5 | 合并结果: $ \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C $ |
四、最终答案
$$
\int x e^{-x} \, dx = -e^{-x}(x + 1) + C
$$
其中,$ C $ 是积分常数。
五、总结
通过分部积分法,我们成功地求出了 $ x e^{-x} $ 的不定积分。整个过程清晰明了,体现了微积分中处理乘积函数积分的基本技巧。
函数 | 不定积分 |
$ x e^{-x} $ | $ -e^{-x}(x + 1) + C $ |
如需进一步验证结果,可以对答案进行求导,看是否还原为原函数。