【期望的求法】在概率论与数理统计中，期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中的平均表现。期望可以理解为在大量重复试验中，随机变量取值的加权平均值。本文将对期望的求法进行总结，并通过表格形式展示不同情况下的计算方法。
一、期望的基本定义
设 $ X $ 是一个随机变量，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \dots, p_n $，则 $ X $ 的数学期望（简称期望）定义为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
对于连续型随机变量，期望的计算公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
$$
其中 $ f(x) $ 是概率密度函数。
二、期望的求法分类
以下是对不同类型的随机变量求期望的方法总结：
| 类型 | 定义 | 公式 | 示例 | ||
| 离散型随机变量 | 变量只能取有限或可数个值 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ | 掷一枚骰子，每个面的概率为 $ \frac{1}{6} $，期望为 $ \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5 $ | ||
| 连续型随机变量 | 变量可以在某个区间内取任意值 | $ E(X) = \int_{a}^{b} x f(x) dx $ | 均匀分布在 [0,1] 上的随机变量，期望为 $ \int_{0}^{1} x \cdot 1 dx = 0.5 $ | ||
| 多维随机变量 | 包含多个变量的联合分布 | $ E(X,Y) = \sum_{x}\sum_{y} x y P(X=x,Y=y) $ 或积分形式 | 二维正态分布中，$ E(X) $ 和 $ E(Y) $ 分别为各自的均值 | ||
| 条件期望 | 在已知某些条件下计算期望 | $ E(X | Y=y) = \sum_{x} x P(X=x | Y=y) $ | 已知某人身高为180cm时，其体重的期望值 |
三、期望的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望为自身：
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的期望乘积等于乘积的期望：
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X)E(Y)
$$
四、常见分布的期望
以下是一些常见分布的期望值：
| 分布名称 | 参数 | 期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ n, p $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ a, b $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | $ \mu, \sigma^2 $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ \lambda $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
五、总结
期望是概率论中衡量随机变量“中心位置”的重要指标，适用于离散和连续两种类型。通过不同的分布和条件，期望的计算方式也有所不同。掌握期望的求法不仅有助于理解随机现象的规律，也是进一步学习方差、协方差等统计量的基础。
在实际应用中，期望可以帮助我们预测事件的平均结果，从而做出更合理的决策。因此，了解并熟练运用期望的计算方法具有重要意义。
