【正态分布函数公式是什么】正态分布是概率统计中最重要的连续分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学、工程学等多个领域。它描述了大量随机变量在一定条件下趋于集中分布的规律。正态分布函数是描述这一分布的核心数学表达式。
一、正态分布函数公式
正态分布（Normal Distribution）是一种对称分布，其概率密度函数（PDF）为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $：随机变量
- $ \mu $：均值（平均值）
- $ \sigma $：标准差
- $ \pi $：圆周率（约3.1416）
- $ e $：自然常数（约2.71828）
该函数表示的是一个以 $ \mu $ 为中心，以 $ \sigma $ 为尺度参数的钟形曲线。
二、正态分布的性质总结
| 特性 | 描述 |
| 对称性 | 分布关于 $ \mu $ 对称，左右两侧完全对称 |
| 集中性 | 数据集中在均值附近，远离均值的概率迅速降低 |
| 概率密度函数 | 全部面积为1，代表总概率 |
| 标准化 | 若令 $ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} $，则 $ Z \sim N(0,1) $，称为标准正态分布 |
| 68-95-99.7规则 | 约68%的数据在 $ \mu \pm \sigma $ 范围内；约95%在 $ \mu \pm 2\sigma $；约99.7%在 $ \mu \pm 3\sigma $ |
三、正态分布的应用
正态分布被广泛用于：
- 统计推断（如假设检验、置信区间）
- 抽样分析
- 工程质量控制
- 金融风险评估
- 生物医学研究
由于其数学性质良好，许多实际数据经过适当变换后可以近似服从正态分布。
四、小结
正态分布函数是描述连续随机变量分布的重要工具，其公式为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
掌握这一公式及其相关性质，有助于理解数据分析中的许多基本概念和方法。
