【两个复数乘积的几何意义】在复数运算中，乘法不仅是代数上的操作，更具有深刻的几何意义。两个复数相乘，不仅改变了它们的模（绝对值），还影响了它们的幅角（角度）。通过几何视角理解复数乘法，有助于我们更直观地掌握复数在平面上的变换规律。

一、

复数可以表示为 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或 $ z = re^{i\theta} $，其中 $ r $ 是复数的模，$ \theta $ 是其幅角。当两个复数 $ z_1 = r_1e^{i\theta_1} $ 和 $ z_2 = r_2e^{i\theta_2} $ 相乘时，其乘积为：

$$

z_1 \cdot z_2 = r_1r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}

$$

从几何角度看，两个复数的乘积具有以下两个主要特征：

1. 模的乘积：乘积的模是两个复数模的乘积，即 $ z_1 \cdot z_2 = z_1 \cdot z_2 $。

2. 幅角的和：乘积的幅角是两个复数幅角的和，即 $ \arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) $。

这意味着，复数乘法在复平面上表现为旋转与缩放的组合。具体来说，若将一个复数视为从原点出发的向量，则另一个复数与其相乘相当于对该向量进行旋转（由幅角之和决定）和缩放（由模之积决定）。

二、表格对比

三、应用举例

- 设 $ z_1 = 1 + i $（模为 $ \sqrt{2} $，幅角为 $ 45^\circ $），$ z_2 = 1 - i $（模为 $ \sqrt{2} $，幅角为 $ -45^\circ $），则乘积为：

$$

(1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 2

$$

几何上，这是将 $ z_1 $ 向量旋转 $ -45^\circ $，并缩放 $ \sqrt{2} $ 倍，最终得到实数 2。

四、总结

复数乘法的几何意义在于它同时体现了旋转与缩放的操作。这种特性使得复数在信号处理、图形变换、物理建模等领域具有广泛的应用价值。理解这一几何本质，有助于更深入地掌握复数运算的内在逻辑。