【复合函数同增异减问题】在学习函数的单调性时，我们经常会遇到“复合函数”的情况。复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其单调性往往取决于内部函数和外部函数的单调性变化。其中，“同增异减”是判断复合函数单调性的关键原则之一。
一、什么是“同增异减”？
“同增异减”是指在分析复合函数 $ f(g(x)) $ 的单调性时，若内部函数 $ g(x) $ 与外部函数 $ f(x) $ 在某区间内具有相同的单调性（即都为增函数或都为减函数），则复合函数在该区间上是增函数；若两者单调性不同，则复合函数是减函数。
简言之：
- 同增异减：内外函数单调性一致 → 复合函数为增
- 同减异增：内外函数单调性不一致 → 复合函数为减
二、判断步骤总结
1. 确定内外函数的定义域：确保复合函数在该区间内有定义。
2. 分别分析内外函数的单调性：找出它们在该区间内的增减情况。
3. 根据“同增异减”原则判断复合函数的单调性。
三、典型例子分析
| 函数形式 | 内部函数 $ g(x) $ 单调性 | 外部函数 $ f(x) $ 单调性 | 复合函数 $ f(g(x)) $ 单调性 | 判断依据 |
| $ f(g(x)) = \sqrt{g(x)} $ | 增 | 增 | 增 | 同增 |
| $ f(g(x)) = \ln(g(x)) $ | 增 | 增 | 增 | 同增 |
| $ f(g(x)) = (g(x))^2 $ | 增 | 增 | 增 | 同增 |
| $ f(g(x)) = \sin(g(x)) $ | 增 | 增 | 增 | 同增 |
| $ f(g(x)) = -g(x) $ | 增 | 减 | 减 | 异减 |
| $ f(g(x)) = \frac{1}{g(x)} $ | 增 | 减 | 减 | 异减 |
| $ f(g(x)) = e^{g(x)} $ | 减 | 增 | 减 | 异增 |
| $ f(g(x)) = \log_{\frac{1}{2}}(g(x)) $ | 减 | 增 | 减 | 异增 |
四、注意事项
- “同增异减”仅适用于可导且连续的函数。
- 若内外函数在某些点不可导或存在间断，需特别处理。
- 实际应用中，还需结合具体函数图像或导数进行验证。
五、总结
复合函数的单调性可以通过“同增异减”原则快速判断，但需要明确内外函数各自的单调性。掌握这一方法，有助于提高对函数性质的理解与应用能力。
通过表格的形式可以清晰地看到各个函数组合后的单调性变化规律，便于记忆和复习。
